Фильтр Баттерворта

БаттервортФильтр Баттерворта — это тип активного фильтра, частотная характеристика которого во всей полосе пропускания относительно плоская. Из-за этой частотной характеристики фильтры Баттерворта также называют плоскими фильтрами или максимально плоскими фильтрами.

Используя технику фильтра Баттерворта, вы можете проектировать все типы фильтров, т.е. фильтры высоких частот, низких частот, полосовые и т.д. В этой статье мы сосредоточимся на разработке фильтра низких частот с использованием техники фильтра Баттерворта.

В основном есть три причины для разработки схемы фильтра:

  • Отклик полосы пропускания должен быть максимально ровным.
  • Должен быть медленный переход от полосы пропускания к полосе заграждения.
  • Способность фильтра пропускать сигналы без каких-либо искажений в пределах полосы пропускания.

Эти искажения обычно вызваны фазовыми сдвигами сигналов. В дополнение к этим трем важную роль также играют параметры времени нарастания и спада. С учетом этих соображений для каждого случая разрабатывается один тип фильтра.

Для максимально плоской характеристики разработан фильтр Баттерворта. Для медленного перехода из полосы пропускания в полосу задерживания предназначен фильтр Чебышева, а для максимально плоской задержки времени – фильтр Бесселя.

Фильтр Баттерворта

За счет крутизны переходной среды от полосы пропускания к полосе задерживания этот фильтр Баттерворта обеспечит плоскую характеристику выходного сигнала. Поэтому его также называют фильтром с максимально плоской амплитудой.

Скорость спада отклика фильтра определяется количеством полюсов, взятых в цепи. Число полюсов будет зависеть от количества реактивных элементов в цепи, то есть количества катушек индуктивности или конденсаторов, используемых в цепях.

Амплитудная характеристика фильтра Баттерворта n-го порядка имеет вид:

Vout / Vin = 1 / √{1 + (f / fc)2n}

Где «n» — количество полюсов в цепи. По мере увеличения значения «n» неравномерность отклика фильтра также увеличивается.

‘f’ = рабочая частота цепи и ‘f c ‘ = центральная частота или частота среза цепи.

Эти фильтры имеют заранее определенные причины, и их применение в основном связано с активными RC-цепями на более высоких частотах. Несмотря на то, что он не обеспечивает резкой характеристики среза, его часто считают универсальным фильтром, который используется во многих областях.

Читать также:  Что такое MEMS?

Приблизительность Баттерворта

Вы должны знать, что для удовлетворения соображений характеристик фильтра и приближения к идеальному фильтру нам нужны фильтры более высокого порядка, что увеличит сложность.

Вы также должны знать выходную частотную характеристику и фазовую характеристику схем низких и высоких частот. Идеальные характеристики фильтра — это максимальная неравномерность, максимальное усиление в полосе пропускания и максимальное затухание в полосе задерживания.

Для проектирования фильтра требуется правильная передаточная функция. Чтобы удовлетворить эти передаточные функции математические выводы сделаны в конструкции аналогового фильтра со многими функциями аппроксимации.

В таких конструкциях фильтр Баттерворта является одним из типов фильтров. Конструктивные соображения Баттерворта низких частот в основном используются для многих функций. Позже мы обсудим нормализованные полиномы фильтра низких частот Баттерворта.

Низкочастотный фильтр Баттерворта первого порядка

На приведенной ниже схеме показан фильтр низких частот Баттерворта:

Фильтр низких частот Баттерворта

Требуемый коэффициент усиления полосы пропускания фильтра Баттерворта в основном зависит от номиналов резисторов «R1» и «Rf», а частота среза фильтра будет зависеть от элементов R и C в приведенной выше схеме.

Коэффициент усиления фильтра задается как:

A_max=1+R1/Rf

Полное сопротивление конденсатора C определяется как -jX C  , а напряжение на конденсаторе определяется как:

c = – jX C / (R – jX C ) * Vin

Где, XC = 1 / (2πfc), емкостное реактивное сопротивление.

Передаточная функция фильтра в полярной форме задается как:

H(jω) = |Vout/Vin| ∟ø

Где усиление фильтра:

out / V in = A max / √{1 + (f/f H )²}

А фазовый угол:

Ø = – tan -1 ( f/f H )

На более низких частотах означает, что когда рабочая частота ниже частоты среза, усиление в полосе пропускания равно максимальному усилению:

Vout / Vin = Amax   т.е константа.

При более высоких частотах означает, что когда рабочая частота выше частоты среза, усиление меньше максимального усиления:

Читать также:  Применение конденсаторов

Vout / Vin < Amax

Когда рабочая частота равна частоте среза, передаточная функция равна Amax /√2. Скорость уменьшения усиления составляет 20 дБ/дек или 6 дБ/окт и может быть представлена ​​на кривой отклика как -20 дБ/дек.

Низкочастотный фильтр Баттерворта второго порядка

Дополнительная RC-цепочка, подключенная к фильтру Баттерворта первого порядка, дает нам фильтр низких частот второго порядка. Преимущество этого фильтра низких частот второго порядка состоит в том, что усиление очень быстро спадает после частоты среза в полосе задерживания.

Дополнительная RC-цепочка

В этом фильтре второго порядка значение частоты среза зависит от номиналов резисторов и конденсаторов двух секций RC. Частота среза рассчитывается по приведенной ниже формуле:

fc = 1 / (2π√R2C2)

Усиление спадает со скоростью 40 дБ/дек, и эта характеристика показана на углу/наклоне -40 дБ/дек. Передаточную функцию фильтра можно представить как:

Vout / Vin = Amax / √{1 + (f/fc)4}

Стандартная форма передаточной функции фильтра второго порядка имеет вид:

Vout / Vin = Amax /s2 + 2εωns + ωn2

Где ω н = собственная частота колебаний = 1/R 2 C 2

ε = коэффициент демпфирования = (3 – A max  ) / 2

Для фильтра Баттерворта второго порядка требуемый средний член равен = 1,414, из нормализованного полинома Баттерворта:

3 – Amax = √2 = 1.414

Чтобы получить гарантированную характеристику выходного фильтра, необходимо, чтобы коэффициент усиления max  был равен 1,586.

Фильтры Баттерворта более высокого порядка получают путем каскадирования фильтров Баттерворта первого и второго порядка.

Идеальная частотная характеристика фильтра Баттерворта

Неравномерность выходного отклика увеличивается по мере увеличения порядка фильтра. Ниже приведены коэффициент усиления и нормализованная характеристика фильтра Баттерворта для различных порядков:

Частотная характеристика фильтра Баттерворта

Нормализованные полиномы фильтра низких частот Баттерворта

Нормализация — это процесс, при котором напряжение, ток или импеданс делятся на величину одной и той же единицы измерения. Этот процесс используется для создания безразмерного диапазона или уровня определенного значения.

Полином знаменателя передаточной функции фильтра дает нам полином Баттерворта. Если мы рассмотрим s-плоскость на окружности с равным радиусом, центр которой находится в начале координат, то все полюса фильтра Баттерворта расположены в левой половине этой s-плоскости.

Читать также:  Характеристики конденсаторов

Для любого фильтра порядка коэффициент наивысшей степени ‘s’ всегда должен быть равен 1, а для любого фильтра порядка постоянный член всегда равен 1. Для фильтров четного порядка все полиномиальные множители имеют квадратичный характер. Для фильтров нечетного порядка все полиномы квадратичны, кроме 1-го порядка, для фильтра 1-го порядка полином равен 1+s.

Нормализованные полиномы

Полиномы Баттерворта в форме коэффициентов сведены в таблицу, как показано ниже:

Полиномы Баттерворта

Передаточная функция фильтра Баттерворта n-го порядка задается следующим образом:

H(jω) = 1/√{1 + ε² (ω/ω c ) 2n }

Где n — порядок фильтра

ω — частота в радианах, равная 2πf

ε — максимальное усиление полосы пропускания, Amax

Пример фильтра низких частот Баттерворта

Рассмотрим фильтр низких частот Баттерворта с частотой среза 15,9 кГц, коэффициентом усиления полосы пропускания 1,5 и конденсатором С = 0,001 мкФ.

fc = 1 / 2πRC

15,9 * 10³ = 1 / {2πR1 * 0,001 * 10 -6}

R = 10 кОм

max = 1,5 и принять R1 равным 10 кОм .

Максимум = 1 + {R f / R 1 }

f = 5 кОм

Пример фильтра низких частот

Фильтр низких частот Баттерворта третьего порядка

Каскадное соединение фильтров Баттерворта 1-го и 2-го порядка дает фильтр Баттерворта третьего порядка. Схема фильтра Баттерворта третьего порядка показана ниже:

Схема фильтра Баттерворта третьего порядка

Для фильтра нижних частот третьего порядка полином из заданных нормализованных полиномов Баттерворта нижних частот равен (1+s) (1+s+s²). Этот фильтр содержит три неизвестных коэффициента, и они равны 0 a 1 a 2 .

Значения коэффициентов для них равны 0 = 1, 1 = 2 и 2 = 2. Плоскостность кривой увеличивается для этого фильтра Баттерворта третьего порядка по сравнению с фильтром первого порядка.

Итог

Из-за своей максимально плоской полосы пропускания данный фильтр используется в качестве сглаживающего фильтра в преобразователях данных. Его применяют в радарах, например, при разработке отображения траектории цели радара. Также используют в высококачественных аудиоприложениях и цифровых фильтрах для анализа движения.

С Уважением, МониторБанк

Добавить комментарий