Фильтр Баттерворта — это тип активного фильтра, частотная характеристика которого во всей полосе пропускания относительно плоская. Из-за этой частотной характеристики фильтры Баттерворта также называют плоскими фильтрами или максимально плоскими фильтрами.
Используя технику фильтра Баттерворта, вы можете проектировать все типы фильтров, т.е. фильтры высоких частот, низких частот, полосовые и т.д. В этой статье мы сосредоточимся на разработке фильтра низких частот с использованием техники фильтра Баттерворта.
В основном есть три причины для разработки схемы фильтра:
- Отклик полосы пропускания должен быть максимально ровным.
- Должен быть медленный переход от полосы пропускания к полосе заграждения.
- Способность фильтра пропускать сигналы без каких-либо искажений в пределах полосы пропускания.
Эти искажения обычно вызваны фазовыми сдвигами сигналов. В дополнение к этим трем важную роль также играют параметры времени нарастания и спада. С учетом этих соображений для каждого случая разрабатывается один тип фильтра.
Для максимально плоской характеристики разработан фильтр Баттерворта. Для медленного перехода из полосы пропускания в полосу задерживания предназначен фильтр Чебышева, а для максимально плоской задержки времени – фильтр Бесселя.
Фильтр Баттерворта
За счет крутизны переходной среды от полосы пропускания к полосе задерживания этот фильтр Баттерворта обеспечит плоскую характеристику выходного сигнала. Поэтому его также называют фильтром с максимально плоской амплитудой.
Скорость спада отклика фильтра определяется количеством полюсов, взятых в цепи. Число полюсов будет зависеть от количества реактивных элементов в цепи, то есть количества катушек индуктивности или конденсаторов, используемых в цепях.
Амплитудная характеристика фильтра Баттерворта n-го порядка имеет вид:
Vout / Vin = 1 / √{1 + (f / fc)2n}
Где «n» — количество полюсов в цепи. По мере увеличения значения «n» неравномерность отклика фильтра также увеличивается.
‘f’ = рабочая частота цепи и ‘f c ‘ = центральная частота или частота среза цепи.
Эти фильтры имеют заранее определенные причины, и их применение в основном связано с активными RC-цепями на более высоких частотах. Несмотря на то, что он не обеспечивает резкой характеристики среза, его часто считают универсальным фильтром, который используется во многих областях.
Приблизительность Баттерворта
Вы должны знать, что для удовлетворения соображений характеристик фильтра и приближения к идеальному фильтру нам нужны фильтры более высокого порядка, что увеличит сложность.
Вы также должны знать выходную частотную характеристику и фазовую характеристику схем низких и высоких частот. Идеальные характеристики фильтра — это максимальная неравномерность, максимальное усиление в полосе пропускания и максимальное затухание в полосе задерживания.
Для проектирования фильтра требуется правильная передаточная функция. Чтобы удовлетворить эти передаточные функции математические выводы сделаны в конструкции аналогового фильтра со многими функциями аппроксимации.
В таких конструкциях фильтр Баттерворта является одним из типов фильтров. Конструктивные соображения Баттерворта низких частот в основном используются для многих функций. Позже мы обсудим нормализованные полиномы фильтра низких частот Баттерворта.
Низкочастотный фильтр Баттерворта первого порядка
На приведенной ниже схеме показан фильтр низких частот Баттерворта:
Требуемый коэффициент усиления полосы пропускания фильтра Баттерворта в основном зависит от номиналов резисторов «R1» и «Rf», а частота среза фильтра будет зависеть от элементов R и C в приведенной выше схеме.
Коэффициент усиления фильтра задается как:
A_max=1+R1/Rf
Полное сопротивление конденсатора C определяется как -jX C , а напряжение на конденсаторе определяется как:
V c = – jX C / (R – jX C ) * Vin
Где, XC = 1 / (2πfc), емкостное реактивное сопротивление.
Передаточная функция фильтра в полярной форме задается как:
H(jω) = |Vout/Vin| ∟ø
Где усиление фильтра:
V out / V in = A max / √{1 + (f/f H )²}
А фазовый угол:
Ø = – tan -1 ( f/f H )
На более низких частотах означает, что когда рабочая частота ниже частоты среза, усиление в полосе пропускания равно максимальному усилению:
Vout / Vin = Amax т.е константа.
При более высоких частотах означает, что когда рабочая частота выше частоты среза, усиление меньше максимального усиления:
Vout / Vin < Amax
Когда рабочая частота равна частоте среза, передаточная функция равна Amax /√2. Скорость уменьшения усиления составляет 20 дБ/дек или 6 дБ/окт и может быть представлена на кривой отклика как -20 дБ/дек.
Низкочастотный фильтр Баттерворта второго порядка
Дополнительная RC-цепочка, подключенная к фильтру Баттерворта первого порядка, дает нам фильтр низких частот второго порядка. Преимущество этого фильтра низких частот второго порядка состоит в том, что усиление очень быстро спадает после частоты среза в полосе задерживания.
В этом фильтре второго порядка значение частоты среза зависит от номиналов резисторов и конденсаторов двух секций RC. Частота среза рассчитывается по приведенной ниже формуле:
fc = 1 / (2π√R2C2)
Усиление спадает со скоростью 40 дБ/дек, и эта характеристика показана на углу/наклоне -40 дБ/дек. Передаточную функцию фильтра можно представить как:
Vout / Vin = Amax / √{1 + (f/fc)4}
Стандартная форма передаточной функции фильтра второго порядка имеет вид:
Vout / Vin = Amax /s2 + 2εωns + ωn2
Где ω н = собственная частота колебаний = 1/R 2 C 2
ε = коэффициент демпфирования = (3 – A max ) / 2
Для фильтра Баттерворта второго порядка требуемый средний член равен = 1,414, из нормализованного полинома Баттерворта:
3 – Amax = √2 = 1.414
Чтобы получить гарантированную характеристику выходного фильтра, необходимо, чтобы коэффициент усиления A max был равен 1,586.
Фильтры Баттерворта более высокого порядка получают путем каскадирования фильтров Баттерворта первого и второго порядка.
Идеальная частотная характеристика фильтра Баттерворта
Неравномерность выходного отклика увеличивается по мере увеличения порядка фильтра. Ниже приведены коэффициент усиления и нормализованная характеристика фильтра Баттерворта для различных порядков:
Нормализованные полиномы фильтра низких частот Баттерворта
Нормализация — это процесс, при котором напряжение, ток или импеданс делятся на величину одной и той же единицы измерения. Этот процесс используется для создания безразмерного диапазона или уровня определенного значения.
Полином знаменателя передаточной функции фильтра дает нам полином Баттерворта. Если мы рассмотрим s-плоскость на окружности с равным радиусом, центр которой находится в начале координат, то все полюса фильтра Баттерворта расположены в левой половине этой s-плоскости.
Для любого фильтра порядка коэффициент наивысшей степени ‘s’ всегда должен быть равен 1, а для любого фильтра порядка постоянный член всегда равен 1. Для фильтров четного порядка все полиномиальные множители имеют квадратичный характер. Для фильтров нечетного порядка все полиномы квадратичны, кроме 1-го порядка, для фильтра 1-го порядка полином равен 1+s.
Полиномы Баттерворта в форме коэффициентов сведены в таблицу, как показано ниже:
Передаточная функция фильтра Баттерворта n-го порядка задается следующим образом:
H(jω) = 1/√{1 + ε² (ω/ω c ) 2n }
Где n — порядок фильтра
ω — частота в радианах, равная 2πf
ε — максимальное усиление полосы пропускания, Amax
Пример фильтра низких частот Баттерворта
Рассмотрим фильтр низких частот Баттерворта с частотой среза 15,9 кГц, коэффициентом усиления полосы пропускания 1,5 и конденсатором С = 0,001 мкФ.
fc = 1 / 2πRC
15,9 * 10³ = 1 / {2πR1 * 0,001 * 10 -6}
R = 10 кОм
A max = 1,5 и принять R1 равным 10 кОм .
Максимум = 1 + {R f / R 1 }
R f = 5 кОм
Фильтр низких частот Баттерворта третьего порядка
Каскадное соединение фильтров Баттерворта 1-го и 2-го порядка дает фильтр Баттерворта третьего порядка. Схема фильтра Баттерворта третьего порядка показана ниже:
Для фильтра нижних частот третьего порядка полином из заданных нормализованных полиномов Баттерворта нижних частот равен (1+s) (1+s+s²). Этот фильтр содержит три неизвестных коэффициента, и они равны 0 a 1 a 2 .
Значения коэффициентов для них равны 0 = 1, 1 = 2 и 2 = 2. Плоскостность кривой увеличивается для этого фильтра Баттерворта третьего порядка по сравнению с фильтром первого порядка.
Итог
Из-за своей максимально плоской полосы пропускания данный фильтр используется в качестве сглаживающего фильтра в преобразователях данных. Его применяют в радарах, например, при разработке отображения траектории цели радара. Также используют в высококачественных аудиоприложениях и цифровых фильтрах для анализа движения.
С Уважением, МониторБанк